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【题目】在图1﹣﹣图4中,菱形ABCD的边长为3,A=60°,点M是AD边上一点,且DM=AD,点N是折线AB﹣BC上的一个动点.

(1)如图1,当N在BC边上,且MN过对角线AC与BD的交点时,则线段AN的长度为

(2)当点N在AB边上时,将AMN沿MN翻折得到A′MN,如图2,

①若点A′落在AB边上,则线段AN的长度为

②当点A′落在对角线AC上时,如图3,求证:四边形AM A′N是菱形;

③当点A′落在对角线BD上时,如图4,求的值.

【答案】(1)(2)①1;②见解析;=

【解析】

试题分析:(1)过点N作NGAB于G,构造直角三角形,利用勾股定理解决问题;

(2)①利用线段中垂线的性质得到AN=A′N,再由三角函数求得;

②利用菱形的性质得到对角线平分每一组对角,得到DAC=CAB=30°,根据翻折的性质得到ACMN,AM=A′M,AN=A′N,AMN=ANM=60°,AM=AN,AM=A′M=AN=A′N,四边形AM A′N是菱形;

③根据菱形的性质得到AB=AD,ADB=ABD=60°,求得NA′M=DMA′+ADB,证得A′M=AM=2,NA′M=A=60°,得到NA′B=DMA′,利用三角形相似得到结果.

解:(1)如图1,过点N作NGAB于G,

四边形ABCD是菱形,

ADBC,OD=OB,

==1,

BN=DM=AD=1,

∵∠DAB=60°

∴∠NBG=60°

BG=,GN=

AN===

故答案为:

(2)①当点A′落在AB边上,则MN为AA′的中垂线,

∵∠DAB=60°AM=2

AN=AM=1,

故答案为:1;

②在菱形ABCD中,AC平分DAB

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=CAB=30°

∵△AMN沿MN翻折得到A′MN

ACMN,AM=A′M,AN=A′N,

∴∠AMN=ANM=60°

AM=AN

AM=A′M=AN=A′N,

四边形AM A′N是菱形;

③在菱形ABCD中,AB=AD,

∴∠ADB=ABD=60°

∴∠BA′M=DMA′+ADB

A′M=AM=2NA′M=A=60°

∴∠NA′B=DMA′

∴△DMA′∽△BA′N

=

MD=AD=1,A′M=2,

=

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