Question

【题目】如图，已知，，点D在边BC上与B，C不重合，四边形ADEF为正方形，过点F作，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，得出以下结论：；：2；；其中正确结论的个数是　　

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；

证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=FBFG=S四边形CBFG，②正确；

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；

证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出DFE=AD2=FQAC，④正确．

详解：∵四边形ADEF为正方形，

∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，

∴∠CAD+∠FAG=90°，

∵FG⊥CA，

∴∠GAF+∠AFG=90°，

∴∠CAD=∠AFG，

在△FGA和△ACD中，

，

∴△FGA≌△ACD（AAS），

∴AC=FG，故①正确；

∵BC=AC，

∴FG=BC，

∵∠ACB=90°，FG⊥CA，

∴FG∥BC，

∴四边形CBFG是矩形，

∴∠CBF=90°，S△FAB=FBFG=S四边形CBFG，故②正确；

∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，

∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；

∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，

∴△ACD∽△FEQ，

∴AC：AD=FE：FQ，

∴ADFE=AD2=FQAC，故④正确；

故选：D．