Question

如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明△ABE≌△ADM（SAS），得到∠BAE=∠DAM，AE=AM；证明∠EAF=∠MAF=45°；进而证明△EAF≌△MAF，得到MF=EF，即可解决问题．

解答：解：如图，延长CD到M，使DM=BE，
连接AM、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=AD；
在△ABE与△ADM中，

AB=AD ∠ABE=∠ADM BE=DM

，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠BAE=∠DAM，AE=AM；
∴∠BAE+DAF=∠DAM+∠DAF=∠MAF；
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+DAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠MAF=45°；
在△EAF与△MAF中，

AE=AM ∠EAF=∠MAF AF=AF

，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴MF=EF，而MF=MD+DF=BE+DF，
∴BE+DF=EF，
故答案为BE+DF=EF．

点评：该题以正方形为载体，主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．