Question

已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG=16，BC=24，则FH=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：连结GE，根据折叠的性质和矩形的性质可得△EFG与△EDG是直角三角形，DE=AE=FE，再根据HL即可证明△EFG≌△EDG．根据全等三角形的性质可得DG=FG=16，可设AB=BF=DC=x，在Rt△BCG中，根据勾股定理可求BF的长，再在Rt△BFH中，根据勾股定理可求FH=BH的长．

解答：解：连结GE．
∵E是边AD的中点，
∴DE=AE=FE，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，
∴∠D=∠EFG=90°．
在Rt△EFG与Rt△EDG中，

EF=ED EG=EG

，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG（HL）；
∴DG=FG=16，
设DG=x，则CG=16-x，BG=x+16
在Rt△BCG中，
BG²=BC²+CG²，
即（x+16）²=（16-x）²+24²，
解得x=9，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠AEB=∠FEB，
∴∠CBE=∠FEB，
∴BH=EH，
设BH=EH=y，则FH=12-y，
在Rt△BFH中，
BH²=BF²+FH²，
即y²=9²+（12-y）²，
解得y=

75

8

，
∴12-y=12-

75

8

=

21

8

．
故答案为：

21

8

．

点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性较强，有一定的难度，关键是作出辅助线构造全等三角形．