【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AD边上的一个动点,将四边形BCDE沿直线BE折叠,得到四边形BC′D′E,连接AC′,AD′.
(1)若直线DA交BC′于点F,求证:EF=BF;
(2)当AE=时,求证:△AC′D′是等腰三角形;
(3)在点E的运动过程中,求△AC′D′面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)4.
【解析】
(1)根据折叠的性质和平行线的性质得:∠FBE=∠FEB,则EF=BF;
(2)如图1,先根据勾股定理计算BE的长,根据直角边和斜边的关系可得:∠ABE=30°,则△BEF是等边三角形,最后根据平行线分线段成比例定理,由FC'∥AH∥ED',得C'H=D'H,从而得结论;
(3)如图1,根据三角形面积公式可知:当C'D'最小时,△AC′D′面积最小,如图2,当C'、A、B三点共线时,△AC′D′面积最小,计算AC'=2,根据三角形面积公式可得结论.
解:(1)证明:如图1,由折叠得:∠FBE=∠CBE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,
∴EF=BF;
(2)在Rt△ABE中,∵AB=4,AE=,
∴BE=,
∴∠ABE=30°,
∴∠AEB=60°,
由(1)知:EF=BF,
∴△BEF是等边三角形,
∵AB⊥EF,
∴AE=AF,
过A作AH⊥C'D',
∵FC'⊥C'D',ED'⊥C'D',
∴FC'∥AH∥ED',
∴C'H=D'H,
∵AH⊥C'D',
∴AC'=AD',
∴△AC′D′是等腰三角形;
(3)如图1,S△C'D'A=AHC'D'=×4C′D′=2C'D',
当C'D'最小时,△AC′D′面积最小,
如图2,当C'、A、B三点共线时,△AC′D′面积最小,
由折叠得:BC=BC'=6,∠C=∠C'=90°,
∵AB=4,
∴AC'=64=2,
△AC′D′面积的最小值=AC′C′D′=×2×4=4.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校八年级甲、乙两班各有学生50人,为了了解这两个班学生身体素质情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
(1)收集数据:从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试,测试成绩(百分制)如下:
甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65
乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70
(2)整理描述数据:按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
成绩x 人数 班级 | 50≤x<60 | 60≤x<70 | 70≤x<80 | 80≤x<90 | 90≤x≤100 |
甲班 | 1 | 3 | 3 | 2 | 1 |
乙班 | 2 | 1 | m | 2 | n |
在表中:m=______,n=______.
(3)分析数据:
①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:
班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
甲班 | 72 | x | 75 |
乙班 | 72 | 70 | y |
在表中:x=______,y=______.
②若规定测试成绩在80分(含80分)以上的学生身体素质为优秀,请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有______人.
③现从甲班指定的2名学生(1男1女),乙班指定的3名学生(2男1女)中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试,用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.
在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,过A作AD⊥BC于D(如图1),则sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即.同理有:,,所以=,即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题.
(1)如图2,△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,则∠A=_____;AC=_____;
(2)如图3,一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图3),求此时货轮距灯塔A的距离AB.
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【题目】已知:如图16,抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校九年级共有80名同学参与数学科托底训练.其中(1)班30人,(2)班25人,(3)班25人,吕老师在托底训练后对这些同学进行测试,并对测试成绩进行整理,得到下面统计图表.
(1)表格中的m落在________组;(填序号)
①40≤x<50, ②50≤x<60, ③60≤x<70,
④70≤x<80, ⑤80≤x<90, ⑥90≤x≤100.
(2)求这80名同学的平均成绩;
(3)在本次测试中,(2)班小颖同学的成绩是70分,(3)班小榕同学的成绩是74分,这两位同学成绩在自己所在班级托底同学中的排名,谁更靠前?请简要说明理由.
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【题目】如图①、图②是某校调查部分学生是否知道母亲生日情况的扇形和条形统计图:根据图中信息,解答下列问题:
(1)求本次被调查学生的人数;
(2)请补全条形统计图;
(3)若全校共有2700名学生,请估计这所学校有多少名学生知道母亲的生日.
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【题目】如图1是小区常见的漫步机,当人踩在踏板上,握住扶手,像走路一样抬腿,就会带动踏板连杆绕轴旋转.如图2,从侧面看,踏板静止DE上的线段AB重合,测得BE长为0.21m,当踏板连杆绕着A旋转到AC处时,测得∠CAB=42°,点C到地面的距离CF长为0.52m,当踏板连杆绕着点A旋转到AG处∠GAB=30°时,求点G距离地面的高度GH的长.(精确到0.1m,参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,)
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【题目】李珊一家准备假期游览华山(H)、秦始皇兵马俑(T)、大雁塔(G)三个景区,他用摸牌的方式确定游览顺序:如图,将代表三个景区的图片贴在背面完全相同的三张卡片上,将三张卡片背面向上洗匀后摸出一张(不再放回)作为最先游览的景区,再从剩下的两张卡片中摸出一张,作为游览的第二个景区,余下的一张代表最后游览的景区,比如:他先摸出T,再摸出G,则表示游览顺序为“T﹣G﹣H”,即“秦始皇兵马俑﹣大雁塔﹣华山”.
(1)求李珊一家最先游览的景区是大雁塔的概率;
(2)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能的游览顺序,并求出李珊一家恰好按:“大雁塔﹣华山﹣秦始皇兵马俑”顺序游览的概率.
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【题目】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,DE=EF=BF,连接CE并延长交AD于点G,连接CF并延长交AB于点H,连接CH,设△CDG的面积为S1,△CHG的面积为S2,则S1与S2的关系正确的是( )
A. B. C. D.
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