Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD．

（1）求证：OP＝OF；

（2）若设AP＝x，试求CF的长（用含x的代数式表示）；

（3）求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝8﹣x；（3）AP＝4.8．

【解析】

（1）由矩形的性质得出∠D＝∠A＝∠C＝90°，由翻折的性质得出∠E＝∠D，由ASA证明△ODP≌△OEF，得出OP＝OF；

（2）由全等三角形的性质得出PD＝EF ，得出DF＝EP，设AP＝PE＝DF＝x，

则CF＝8﹣x即可；

（3）由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，

由翻折的性质可知：∠E＝∠A＝90°，

∴∠E＝∠D，

在△ODP和△OEF中，

，

∴△ODP≌△OEF（ASA）．

∴OP＝OF．

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，

∵△ODP≌△OEF（ASA），

∴OP＝OF，PD＝EF．

∴DF＝EP．

∵AP＝PE＝DF＝x，

∴CF＝8﹣x．

（3）∵AD＝BC＝6，PA＝PE＝DF＝x，

∴PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x，

在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，

即62+（8﹣x）2＝（x+2）2，

解得：x＝4.8，

∴AP＝4.8．