[题目]思维启迪:(1)如图1..两点分别位于一个池塘的两端.小亮想用绳子测量.间的距离.但绳子不够长.聪明的小亮想出一个办法:先在地上取一个可以直接到达点的点.连接.取的中点(点可以直接到达点).利用工具过点作交的延长线于点.此时测得.那么.间的距离是．思维探索:(2)在和中...且.．将绕点顺时针旋转.把点在边上时的位置作为起始位置(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】思维启迪：

（1）如图1，，两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点的点，连接，取的中点（点可以直接到达点），利用工具过点作交的延长线于点，此时测得，那么，间的距离是______．

思维探索：

（2）在和中，，，且，．将绕点顺时针旋转，把点在边上时的位置作为起始位置（此时点和点位于的两侧），设旋转角为，连接，点是线段的中点，连接，．

①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是_______；_______．

②如图3，当，点落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

③当时，若，，请直接写出的值．

【答案】（1）200；（2）①，；②，，证明见解析；③．

【解析】

（1）证明即可得到答案；

（2）①延长EP交BC于F，证明可得是等腰直角三角形，即可证明PC=PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，证明，结合已知得BF=DE=AE，再证明，可得是等腰直角三角形，即可证明PC=PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，由旋转旋转可知，∠CAE=150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，得∠FBC=∠EAC，同②可证可得PC=PE，PC⊥PE，再由已知解三角形求解，即可求出

解：（1）为的中点，

故答案为：

（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是，．

理由如下：如图，延长EP交BC于F，

为的中点，

∴（AAS），

∴PF=PE，BF=DE，

又∵AC=BC，AE=DE，

∴FC=EC，又∵∠ACB=90°，

∴是等腰直角三角形，

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE．

故答案为：

②，．

证明如下：如图，过点作交延长线于点，连接，．

，

点是线段的中点，

，

，．

，

．

，

，．

又，

．

，

．

在中，

，，

．

③如图，作BF∥DE，交EP延长线于点F，

连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，

当α=150°时，由旋转旋转可知，∠CAE=150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，

∴∠FBC=∠EAC=α=150°，

同②可得（AAS），

同②可得

同②可得是等腰直角三角形，

CP⊥EP，CP=EP=

在中，∠EAH=30°，AE=DE=1，

∴HE=，AH=

又∵AC=BC=3，

∴CH=

∴

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