Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．

Answer 1

 

考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称． 

专题： 压轴题．

分析： （1）由于抛物线y=ax²+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；

（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，

∴，

解之得：a=﹣1，b=3，

∴y=﹣x²+3x+4；

 

（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，

∴把D的坐标代入（1）中的解析式得

m+1=﹣m²+3m+4，

∴m=3或m=﹣1，

∴m=3，

∴D（3，4），

∵y=﹣x²+3x+4=0，x=﹣1或x=4，

∴B（4，0），

∴OB=OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠CBA=45°

设点D关于直线BC的对称点为点E

∵C（0，4）

∴CD∥AB，且CD=3

∴∠ECB=∠DCB=45°

∴E点在y轴上，且CE=CD=3

∴OE=1

∴E（0，1）

即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

点评： 此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标