Question

自主学习，学以致用
先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，求出BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF即可．

解答：
证明：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，
∵AD是中线，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDG中

BD=DC ∠BDF=∠CDG DF=DG

∴△BDF≌△CDG，
∴BF=CG，∠BFD=∠G，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AFE=∠G，
∵BF=CG，BF=AC，
∴CG=AC，
∴∠G=∠CAF，
∴∠AFE=∠CAF，
∴AE=EF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．