Question

【题目】受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．

（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？

（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．

Answer 1

【答案】（1）生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；（2）w＝﹣100a+50000；（3）总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．

【解析】

（1）根据生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本；

（2）根据题意和（1）中的结果可以得到w与a的函数关系式；

（3）要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质可以得到总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．

解：（1）设生产A种型号的手写板需要投入成本元，生产B种型号的手写板需要投入成本元，

，得，

即生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；

（2）∵该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，生产了A型号手写板a个，

∴生产B型号的手写板的数量为：＝（个），

∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，

即w关于a的函数关系式为w＝﹣100a+50000；

（3）∵要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，

∴a≥×2，

∴a≥100，

∵w＝﹣100a+50000，

∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝40000，＝50，

答：总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．