Question

【题目】如图，等腰直角△ABC中，CA=CB，点E为△ABC外一点，CE=CA，且CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°．

（1）求证：△CBE为等边三角形；

（2）若AD=5，DE=7，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】

（1）首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE=∠CEA，再得出∠BCE的度数，进而利用等边三角形的判定得出答案；
（2）首先在AE上截取EM=AD,连接CM进而得出△ACD≌△ECM，进而得出△MCD为等边三角形，即可得出答案．

（1）证明：∵CA=CB，CE=CA，

∴BC=CE，∠CAE=∠CEA，

∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE=60°，

∴∠ACD=∠DCB=45°，∠DAC+∠ACD=∠EDC=60°，

∴∠DAC=∠CEA=15°，

∴∠ACE=150°，

∴∠BCE=60°，

∴△CBE为等边三角形；

（2）在AE上截取EM=AD，连接CM．

在△ACD和△ECM中，

，

∴△ACD≌△ECM（SAS），

∴CD=CM，

∵∠CDE=60°，

∴△MCD为等边三角形，

∴CD=DM=7﹣5=2．