Question

9．【问题情境】
张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题：如图①，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小林的证明思路是：如图②，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．
小兰的证明思路是：如图②，过点P作PG⊥CF，垂足为G，通过证明四边形PDFG是矩形，
可得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．
【变式探究】如图③，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；
【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
如图④，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y=$\frac{3}{4}$x+3、l₂：y=-3x+3，若l₂上的一点M到l₁的距离是1，请运用上述的结论求出点M的坐标．

Answer 1

分析 【问题情境】利用小林或小兰的思路可以证明；
【变式探究】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；
【结论运用】分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据△AMC和△AMB的面积和与差等于△ABC的面积，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l₂的解析式可求出M的坐标．

解答 解：【问题情境】
如图②，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PD，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PD+$\frac{1}{2}$AC•PE=$\frac{1}{2}$AB•CF，
又AB=AC，
∴PD+PE=CF；
【变式探究】
如图3，连接AP，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PD，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PE，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∵S_△ABP-S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PD-$\frac{1}{2}$AC•PE=$\frac{1}{2}$AB•CF，
又∵AB=AC，
∴PD-PE=CF；
【结论运用】
由题意可求得A（-4，0），B（3，0），C（0，1），
∴AB=5，AC=5，BC=$\sqrt{10}$，OB=3，
当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P、Q，如图④，

则S_△AMC=$\frac{1}{2}$AC•MP，S_△AMB=$\frac{1}{2}$AB•MQ，S_△ABC=$\frac{1}{2}$OB•AC，
∵S_△AMC+S_△AMB=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AC•MP+$\frac{1}{2}$AB•MQ=$\frac{1}{2}$OB•AC，
即$\frac{1}{2}$×5×MP+$\frac{1}{2}$×5×1=$\frac{1}{2}$×3×5，解得MP=2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y=-3x+3，
∴当y=2时，代入可求得x=$\frac{1}{3}$，
∴M坐标为（$\frac{1}{3}$，2）；
同理，由前面结论可知当M点在线段BC外时，有|MP-MQ|=OB，
可求得MP=4或MP=-2，即M点的纵坐标为4或-2，
分别代入y=-3x+3，可求得x=-$\frac{1}{3}$或x=$\frac{5}{3}$（舍，因为它到l₁的距离不是1），
∴M点的坐标为（-$\frac{1}{3}$，4）；
综上可知M点的坐标为（$\frac{1}{3}$，2）或（-$\frac{1}{3}$，4）．

点评 本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．