Question

4．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=4$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=2$\sqrt{2}$，
∴PQ=$\sqrt{{OP}^{2}{-OQ}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．