Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点（异于点A、C），连接BC，AC，PA，PB，PB与AC交于点D，设点P的横坐标为m．

①若△CBD，△DAP的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2最小时，求点P的坐标；

②过点P作x轴的垂线，交AC于点E．以原点O为旋转中心，将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′．当线段P′E′与直线PE有交点时，设交点为F，求交点F的路径长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①P（1，4）；②.

【解析】

（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1），利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；

（2）①求直线AC的解析式,然后分别表示出 两个三角形的面积,然后求S1﹣S2的解析式,从而求最小值,最后确定点P坐标;

②根据旋转的性质求线段P′E′与直线PE有交点时，m的取值范围，从而求解．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0）

∴设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

将(0,3)代入得,﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）设 ,将点A(3,0)、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式得： ,解得

∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），

①S1﹣S2＝S△BAC﹣S△BAP＝×AB×（3+m2﹣2m﹣3）＝2（m2﹣2m）=，

∴当m＝1时，S1﹣S2最小，此时点P（1，4）；

②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′，

则点E′、P′的坐标分别为：（﹣m+3，﹣m）、（﹣m2+2m+3，﹣m），

当线段P′E′与直线PE有交点时，即点F在E′P′之间，

即﹣m+3≤m≤﹣m2+2m+3，

解得：≤m≤，

故交点F的路径长为：﹣＝．