Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．

（1）求证：DE＝EC；

（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4.5.

【解析】

（1）连结AE、BD，由E为的中点可得AE是∠CAB的平分线，再由直径所对的圆周角为直角可知∠AEB=∠AEC=90°，故可证，则CE=EB=DE；

（2）设半径为r，则可得AB=AC=2r，则AD=AC-CD=2r-2，在Rt△CBD中运用勾股定理求解BD，再在Rt△ABD中运用勾股定理即可求解.

（1）连结AE,BD

∵E为的中点

∴= ，

∠CAE=∠BAE-

∵∠AEB是直径所对的圆周角

∴∠AEB=90°

即AE⊥BC

∴∠AEB=∠AEC=90°

在和中

，

∴（ASA）

∴CE=BE

∴DE=CE=BE=BC；

(2)在Rt△CBD中，

设半径为r，则AB=2r，

由（1）得AC=AB=2r

AD=AC-CD=2r-2

在Rt△ABD中

∴

求得r=4.5.