Question

【题目】如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．

(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；

(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）.

【解析】

（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；
（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．

解：（1）如图：连接OD

∵DE与⊙O相切

∴∠ODE＝90°

∵AB∥DE

∴∠AOD+∠ODE＝180°

∴∠AOD＝90°

∵∠AOD＝2∠C

∠C＝45°

∵∠CFB＝∠CAB+∠C

∴∠CFB＝75°

（2）如图：连接OC

∵AB是直径，点F是CD的中点

∴AB⊥CD，CF＝DF，

∵∠COF＝2∠CAB＝60°，

∴OF＝OC＝，CF＝ OF＝ ，

∴CD＝2CF＝ ，AF＝OA+OF＝ ，

∵AF∥AD，F点为CD的中点，

∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，

∴DE＝2AF＝3，

∴S△CED＝×3×＝