Question

【题目】如图，直线与x轴交于A，与y轴交于B，抛物线经过点A，且与y轴交于点C（0，4），P为x轴上一动点，按逆时针方向作CPE，使CPE∽AOB．

（1）求抛物线解析式．

（2）若点E落在抛物线上，求出点P的坐标．

（3）若ABE是直角三角形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（，0）、 P（，0）；（3） P点的坐标为（，0）或（，0）．

【解析】

（1）先根据一次函数确定A的坐标，然后运用A、C的坐标采用待定系数法解答即可；

（2）作EF⊥x轴于F，先求出OA和OB的比值，然后根据△CPE∽△AOB得到，再证明△CPO∽△PEF，得到，进一步得到EF=；设P（t，0），则E（t+2， ） ，然后将E的坐标代入解析式求解即可；

（3）分∠ABE=90°和∠BAE=90°两种情况，分别设设P（a，0）、E（b，c）表示出EF、PF、PG、CG，再证明△EFP∽△PGC得到，可用a表示出b和c；然后再确定AB2、 BE2、AE2，最后运用勾股定理列方程解答即可．

解：（1）直线

当y=0时，x= -2

∴A（-2，0）

把（-2，0） （0，4）代入抛物线中得

解得：c=4，b=1

∴；

（2）作EF⊥x轴于F

∵直线AB交y轴于点（0，1）

∴

又∵△CPE∽△AOB

∴

又∵∠CPE=90，

∴∠CPO+∠EPF=90

又∠EPF﹢∠PEF=90，

∴∠CPO=∠PEF

∴△CPO∽△PEF

∴

∴PF=2

EF=

设P（t，0）

则E（t+2， ）

∵E在抛物线上

∴

解得t=

∴P（，0）、 P（，0）；

（3）①如图：当∠ABE=90°时，设P（a，0），E（b，c）

则EF=a-b，PF=-c，PG=4,CG=a

∵∠GCP+∠GPC=90°，∠EPF+∠GPC=90°

∴∠GCP=∠EPF

∴△EFP∽△PGC

∴，即，解得b=a-2，c=

∵直角三角形ABE,

∴AE2=AB2+BE2, AB2=5, BE2=(a-2-0)2+（-1）2，AE2=(a-2+2)2+（）2，

∴5+(a-2)2+（-1）2=a2+（）2，解得a=

∴P的坐标为（，0）；

②如图：当∠BAE=90°时，设P（a，0），E（b，c）

则EF=b-a，PF=-c，PG=4,CG=-a

∵∠GCP+∠GPC=90°，∠EPF+∠GPC=90°

∴∠GCP=∠EPF

∴△EFP∽△PGC

∴，即，解得b=2+a，c=

∵直角三角形ABE,

∴BE2=AB2+AE2, AB2=5, BE2=(2+a-0)2+（-1）2，AE2=(2+a+2)2+（）2，

∴ ( 2+a)2+（-1）2=（a+4）2+（）2+5，解得a=

∴P的坐标为（，0）．

综上，P点的坐标为（，0）或（，0）．