Question

20．如图，在Rt△ABC的内部作一个矩形CEDF，其中CE、CF在三角形的边AC、BC上，已知AC=6cm，BC=8cm．设长方形的面积为y m²，边长DE=x m．
（1）求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；
（2）画出函数的图象；
（3）根据图象，判断当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）先证明△AED∽△ACB，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{CB}$，可求得AE=$\frac{3}{4}x$，所以EC=6-$\frac{3}{4}x$，然后根据矩形的面积公式求得y与x的函数关系式即可．
（2）根据函数关系式求得抛物线与x轴两交点的坐标，然后再求得抛物线的顶点坐标，即可画出函数的图象；
（3）根据顶点坐标为（4，9）可求得当x=4时，最大值为y=9．

解答 解：（1）∵四边形ECFD是矩形，
∴ED∥BC．
∴△AED∽△ACB．
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{ED}{CB}$，即$\frac{AE}{6}=\frac{x}{8}$．
∴AE=$\frac{3}{4}x$．
∴EC=6-$\frac{3}{4}x$．
∴y=（6-$\frac{3}{4}x$）x=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$．
∴y与x的函数关系式为y=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$（0＜x＜8）．
（2）令y=0得；y=$-\frac{3}{4}{x}^{2}+6x$=0，
解得：x₁=0，x₂=8．
∴顶点的横坐标为4，将x=4代入得y=12．
∴抛物线的顶点坐标为（4，12）
过点（0，0）、（8，0）、（4，12）画出函数图形如图所示：

（3）∵a＜0，
∴抛物线有最大值．
由（2）可知：抛物线的顶点坐标为（4，12），
∴当x=4时，有最大值，最大值为12．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质，确定出函数的点坐标以及与x的交点坐标是解题的关键．