Question

【题目】如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，由等边三角形的性质和勾股定理可求AD=3，由等边三角形的性质可证△AEG≌△FED，可得DF=AG，根据三角形的三边关系，可得当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，则可求线段DF的最小值．

如图，以ED为边作等边△DEG，连接AD，EF，AG，

∵△ABC是等边三角形，点D是BC中点，
∴BD=CD=3，AD⊥BC，
∴AD= =3，
∵将线段AE绕点A逆时针旋转60°得AF，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵△DEG是等边三角形，
∴DE=EG=2，∠GED=60°=∠AEF，
∴∠AEG=∠FED，且AE=EF，EG=DE，
∴△AEG≌△FED（SAS），
∴DF=AG，
∵在△ADG中，AG≥AD-DG，
∴当点A，点G，点D三点共线时，AG值最小，即DF值最小，
∴DF最小值=AD-DG=3-2．
故答案为：3-2．