Question

15．如图，在面积为S的正方形ABCD中，E是AB的中点，BF⊥CE，垂足为F，求△BFC的面积．

Answer 1

分析 设正方形ABCD的边长为2a，则AB=BC=2a，由勾股定理求出CE=$\sqrt{5}$a，证明△BCF∽△EBC，得出相似比BC：EC=2：$\sqrt{5}$，得出面积比S_△BCF：S_△EBC=4：5．得出S_△BFC：S_{正方形ABCD}=1：5，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠EBC=90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
则AB=BC=2a，
∵E是AB的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=a，
由勾股定理得：CE=$\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°=∠EBC，
∵∠ECB=∠BCF，
∴△BCF∽△EBC．
∴相似比BC：EC=2：$\sqrt{5}$．
∴S_△BCF：S_△EBC=4：5．
∵S_{正方形ABCD}=4S_△EBC
∴S_△BFC：S_{正方形ABCD}=1：5，
∴△BFC的面积=$\frac{1}{5}$S．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．