Question

17．在一个三角形中，若一条边等于另一条边的两倍，则称这种三角形为“倍边三角形”．
（1）下列三角形是倍边三角形的是C
A．顶角为30°的等腰三角形
B．底角为30°的等腰三角形
C．有一个角为30°的直角三角形
D．有一个角为45°的直角三角形
（2）如图①，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，E是AB的中点．求证：△DCE是倍边三角形；
（3）如图②，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=6，若点D在边AB上（点D不与A、B重合），且△BCD是倍边三角形，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质减小判断即可；
（2）根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似证明△ACD∽△AEC，再根据AD=2AC即可得到答案；
（3）分BC=2BD、BC=2CD、BD=2CD、CD=2BD四种情况进行解答，求出各种情况下BD的长．

解答 解：（1）顶角为30°的等腰三角形和底角为30°的等腰三角形的底与腰的关系无法确定，所以A、B不正确；
在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴C正确；
有一个角为45°的直角三角形斜边等于直角边的$\sqrt{2}$倍，D不正确，
故选：C；
（2）∵BD=AB=AC，∴AD=2AC．即$\frac{AD}{AC}$=2．
∵E是AB的中点，∴AB=2AE．∴AC=2AE．即$\frac{AC}{AE}$=2，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AE}$．又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△AEC．∴$\frac{CD}{CE}$=$\frac{AD}{AC}$=2．
∴△DCE是倍边三角形．
（3）当BC=2BD时，BD=3；
当BC=2CD时，如图①，
CD=3，作CE⊥AB于E，
tanA=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{BC}{AC}$=2，
设AE=x，则CE=2x，AC=$\sqrt{5}$x，
∴$\sqrt{5}$x=3．x=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$．
在△ACD中，∵CD=AC=3，CE⊥AB，
∴AD=2 AE=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
∴BD=AB-AD=$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$；
当BD=2CD时，如图②，作DF⊥BC于F，
tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，设DF=y，则BF=2y，BD=$\sqrt{5}$y，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$y，CF=$\frac{1}{2}$y．
∵BC=BF+CF，∴6=2y+$\frac{1}{2}$y．
解得y=$\frac{12}{5}$．BD=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$；
同理，当CD=2BD时，DF=$\frac{2\sqrt{19}-4}{5}$，BD=$\frac{2\sqrt{95}-4\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，BD=3或$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$或$\frac{2\sqrt{95}-4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，理解新定义、正确运用三角形三角形的性质定理和判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．