Question

6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6，∠BDA=30°，求EF的长度．

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件证出∠AOB=60°，证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=6，OD=6，再证出EF是△AOD的中位线，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠BDA=30°，
∴∠AOB=∠OAD+∠BDA=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=6，
∴OD=6，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$OD=3．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．