Question

已知方程ax⁴-（a-3）x²+3a=0的一根小于-2，另外三根皆大于-1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：

分析：设出方程的四个根，降幂把方程转化为方程：ax²-（a-3）x+3a=0的两根，一个大于2，一根在0-1之间，进一步利用根的判别式求得a的取值范围，分类探讨，得出答案即可．

解答：解：不妨设4个根为-x₁，x₁，x₂，-x₂；
-x₁＜-2，x₁＞-1，即x₁＞2；
x₂＞-1，-x₂＞-1，即-1＜x₂＜1；
x₁，x₂为方程f（x）=ax²-（a-3）x+3a=0的两个根，
△=（a-3）²-12a²=-11a²-6a+9＞=0，a＜0或a＞0，

-3-6 3

11

＜a＜

-3+6 3

11

，a＜0或a＞0，
（1）若a＞0，f（-1）＞0，f（1）＜0，f（2）＜0
a+a-3+3a＞0，a＞

3

4

，
a-a+3+3a＜0，a＞-1，
4a-2a+6+3a＜0，a＜-

6

5

，
与题不符；
（2）若a＜0，f（-1）＜0．f（1））＞0．f（2）＞0
a+a-3+3a＜0，a＜

3

4

，
a-a+3+3a＞0，a＜-1，
4a-2a+6+3a＞0，a＞-

6

5

，
即-

6

5

＜a＜-1，
综合即得结果为：-

6

5

＜a＜-1．

点评：此题考查一元二次方程跟的分布情况，注意四次方程转化为一元二次方程解决问题．