Question

如图，AD⊥BD，∠BDC=30°，B是AC的中点，求∠A的余弦．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：延长DB至E，使BE=BD，连接CE，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ADB，∠BCE=∠A，设CE=x，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=2x，利用勾股定理列式求出DE，再求出BE，然后利用勾股定理列式求出BC，再利用锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边列式计算即可得解．

解答：解：如图，延长DB至E，使BE=BD，连接CE，
∵B是AC的中点，
∴AB=BC，
在△ABD和△CBE中，

AB=BC ∠ABD=∠CBE BE=BD

，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠E=∠ADB，∠BCE=∠A，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠E=90°，
设CE=x，∵∠BDC=30°，
∴CD=2CE=2x，
由勾股定理得DE=

(2x)2-x2

=

3

x，
∴BE=

3

2

x，
在Rt△BCE中，BC=

BE2+CE2

=

( 3 2 x)2+x2

=

7

2

x，
∴cos∠A=cos∠BCE=

CE

BC

=

x

7 2 x

=

2 7

7

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形．