Question

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点O在BC边的中线AD上，⊙O与BC相切于点E，且∠OBA=∠OBC．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求tan∠BAD．

Answer 1

分析 （1）作OF垂直AB于点F，然后根据角平分线的性质定理即可证得OE=OF，从而证得结论；
（2）根据勾股定理求得BC，进而求得CD=DB=2，设⊙O的半径为r，然后根据S_△ACD+S_△COB+S_△AOB=S_△ABC，得到$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$BD•r+$\frac{1}{2}AC•BC$，解关于r的方程即可求得半径；
（3）证得Rt△ODE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质求得DE=$\frac{4}{7}$，即可求得BF=BE=$\frac{18}{7}$，AF=AB-BF=$\frac{17}{7}$，解直角三角形即可求得tan∠BAD=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{17}$．

解答 （1）证明：如图，作OF垂直AB于点F，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC
又∠OBA=∠OBC，
∴OE=OF，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
又D为BC的中点，
∴CD=DB=2，
∵S_△ACD+S_△COB+S_△AOB=S_△ABC
设⊙O的半径为r，即
$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$BD•r+$\frac{1}{2}AC•BC$
∴6+2r+5r=12
∴r=$\frac{6}{7}$
∴⊙O的半径为$\frac{6}{7}$
（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴Rt△ODE∽Rt△ADC，
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{DE}{DC}$，
∴DE=$\frac{4}{7}$，
∴BF=BE=$\frac{18}{7}$，
∴AF=AB-BF=$\frac{17}{7}$，
∴tan∠BAD=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{17}$．

点评 本题考查了切线判定和性质，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．