Question

13．如图，以菱形ABCD的顶点C为圆心画⊙C，⊙C与AB相切于点G，与BC、CD分别相交于点E、F．
（1）求证：AD与⊙C相切；
（2）如果∠A=135°，AB=$\sqrt{2}$，现用扇形CEF做成圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

分析 （1）连接CG、AC，过点C作CH⊥AD，垂足为H，由AB与⊙C相切，根据切线的性质得到CG⊥AB，根据菱形的性质得到AC平分∠BAD，由角平分线的性质得到CG=CH，
于是结论可得；
（2）由已知条件∠A=135°，得到∠B=45°，在Rt△CBG中，求得CG=1，根据圆的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连接CG、AC，过点C作CH⊥AD，垂足为H，
∵AB与⊙C相切，
∴CG⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∴CG=CH，
∴AD与⊙C相切；

（2）∵∠A=135°，
∴∠B=45°，
在Rt△CBG中，
∵∠B=45°，BC=AB=$\sqrt{2}$，
∴CG=1，
即：R=1，
设圆锥底面的半径为r，
则2πr=$\frac{nπR}{180}=\frac{135π}{180}$，
∴r=$\frac{3}{8}$，
∴圆锥底面圆的半径为$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，准确的作出辅助线是解题的关键．