Question

13．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，以BD为直径作⊙O，交边AB于点P，连接PC交AD于点E，且AE=DE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若DE=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OP、PD，首先根据等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，根据圆周角定理得出DP⊥AB，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出PE=DE，根据等边对等角得出∠EPD=∠EDP，同理证得∠OPD=∠ODP，即可证得∠OPC=∠ADB=90°，从而证得PC是⊙O的切线；
（2）设BC=x，则CD=$\frac{1}{2}$x，OC=$\frac{3}{4}$x，OP=$\frac{1}{4}$x，根据勾股定理求得PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，然后根据△OPC∽△EDC，对应边成比例求得BC=12$\sqrt{2}$，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 （1）证明：连接OP、PD，
∵BD是直径，
∴DP⊥AB，
∵AE=DE，
∴PE=DE，
∴∠EPD=∠EDP，
∵OP=OD，
∴∠OPD=∠ODP，
∴∠OPD+∠EPD=∠ODP+∠EDP，
即∠OPC=∠ADB，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠OPC=∠ADB=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）设BC=x，则CD=$\frac{1}{2}$x，OC=$\frac{3}{4}$x，OP=$\frac{1}{4}$x，
∴PC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{P}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵∠OPC=∠EDC=90°，∠OCP=∠ECD，
∴△OPC∽△EDC，
∴$\frac{OP}{PC}$=$\frac{DE}{DC}$，即$\frac{\frac{1}{4}x}{\frac{\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{3}{\frac{1}{2}x}$，
解得x=12$\sqrt{2}$，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
∵AE=DE=3，
∴AD=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$12\sqrt{2}$×6=36$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．