Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A，B，C三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值，确定出抛物线解析式即可；
（2）做出C关于直线x=1的对称点C′，连接AC′，与直线x=1交于点P，此时△PAC的周长最小，求出此时直线AC′解析式，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3，
则抛物线解析式为y=-x²+2x+3；
（2）找出C关于直线x=1的对称点C′（2，3），连接AC′，与直线x=1交于点P，此时△PAC的周长最小，
设直线AC′解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），C′（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=1，
∴直线AC′解析式为y=x+1，
把x=1代入得：y=2，
则P坐标为（1，2）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．