Question

11．如图，已知：无论常数k为何值，直线l：y=kx+2k+2总经过定点A，若抛物线y=ax²过A，B（1，b），C（-1，c）三点．
（1）请直线写出点A坐标及a的值；
（2）当直线l过点B时，求k的值；
（3）在y轴上一点P到A，C的距离和最小，求P点坐标；
（4）在（2）的条件下，x取-2＜x＜1值时，ax²＜kx+2k+2．

Answer 1

分析 （1）把直线解析式整理成关于k的形式，然后令k的系数等于0求解即可得到定点A的坐标，将点A的坐标代入抛物线求解即可得到a的值；
（2）将点B的坐标代入抛物线求解得到b的值，再把点B的坐标代入直线计算即可求出k；
（3）判断出B、C关于y轴对称，再根据轴对称确定最短路线问题，直线AB与y轴的交点即为所求的点P，然后根据直线解析式求解即可；
（4）根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．

解答 解：（1）y=kx+2k+2=k（x+2）+2，
当x+2=0，即x=-2时，直线经过定点，
此时，y=2，
所以，A（-2，2），
将点A代入a•（-2）²=2，
解得a=$\frac{1}{2}$；

（2）抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²，
x=1时，b=$\frac{1}{2}$×1²=$\frac{1}{2}$，
所以，点B（1，$\frac{1}{2}$），
将点B代入直线得，k+2k+2=$\frac{1}{2}$，
解得，k=-$\frac{1}{2}$；

（3）抛物线y=$\frac{1}{2}$x²的对称轴为y轴，
y=当x=-1时，c=$\frac{1}{2}$×（-1）²=$\frac{1}{2}$，
所以，点C（-1，$\frac{1}{2}$），
所以，点B、C关于y轴对称，
由轴对称确定最短路线问题，直线AB与y轴的交点即为所求的点P，
由（2）知，直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
令x=0，则y=1，
所以，点P的坐标为（0，1）；

（4）由图可知，-2＜x＜1时，ax²＜kx+2k+2．
故答案为：-2＜x＜1．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了直线过定点的求法，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，轴对称确定最短路线问题，二次函数与不等式，难点在于（1）整理成关于k的形式，（3）确定出点P的位置．