Question

8．已知：AB是⊙O的直径，C是AB上一点，PC⊥AB，交⊙O于F，PDE是割线，交⊙O于D、E．求证：PC²=PD•PE+AC•CB．

Answer 1

分析 延长PC交⊙O于G，根据切割线定理和相交弦定理进行证明即可．

解答 证明：延长PC交⊙O于G，
由割线定理，得PD•PE=PF•PG．
由相交弦定理，得AB•BC=CF•CG．
∵直径AB⊥FG，
∴CF=CG，
∴AB•BC=CF²，
∴PD•PE=PF•PG=（PC-CF）（PC+CG）=（PC-CF）（PC+DF）=PC²-CF²，
∴PD•PE+AC•CB=PC²-CF²+CF²=PC²，
即 PC²=PD•PE+AC•CB．

点评 本题考查了切割线定理和相交弦定理．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．