Question

5．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠D=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AC=8，DE=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由∠D=70°，可求得∠AOD的度数，由AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由OD∥BC，证得OD⊥AC，然后由垂径定理求得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，再由圆周角定理求得∠CAD的度数；
（2）由垂径定理可求得AE的长，然后设OA=x，则OE=OD-DE=x-2，在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，可得方程（x-2）²+4²=x²，解此方程即可求得答案．

解答 解：（1）∵OA=OD，∠D=70°，
∴∠OAD=∠D=70°，
∴∠AOD=180°-∠OAD-∠D=40°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠AOD=20°；

（2）∵AC=8，OE⊥AC，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=4，
设OA=x，则OE=OD-DE=x-2，
∵在Rt△OAE中，OE²+AE²=OA²，
∴（x-2）²+4²=x²，
解得：x=5，
∴OA=5，
∴AB=2OA=10．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．注意得到OD⊥AC，应用垂径定理是关键．