Question

10．菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作BD的垂线交直线AB于点P，连接PC交BD于点F，若AC=4，BD=8，tan∠EPF=$\frac{1}{2}$，则EF的长为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 由菱形的性质和已知条件得出∠ABO=∠EPF，证明△PEF∽△COF，得出∠EPF=∠COF，由tan∠EPF=tan∠OCF=$\frac{OF}{OC}$=$\frac{1}{2}$，求出OF=1，BF=3，设EF=x，则PE=2x，由tan∠ABO=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，得出BE=2PE=4x，得出BF=BE+EF=5x=3，解方程求出x即可．

解答 解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=2，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$=tan∠EPF，
∴∠ABO=∠EPF，
∵PE⊥BD，
∴PE∥AC，
∴△PEF∽△COF，
∴∠EPF=∠COF，
∴tan∠EPF=tan∠OCF=$\frac{OF}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=1，BF=3．
设EF=x，则PE=2x，
∵PE⊥BD，
∴tan∠ABO=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2PE=4x，
∴BF=BE+EF=5x=3，
解得：x=$\frac{3}{5}$，
即EF=$\frac{3}{5}$．故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数；本题有一定难度，需要通过证明三角形相似，运用三角函数列出方程才能得出结果．