Question

已知：如图所示，AB是半圆O的直径，DC切半圆O于点C，AD⊥CD于点D，CE⊥AB于点E．证明：CE=CD．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连结OC，如图，先根据切线的性质得OC⊥DC，而AD⊥CD，则OC∥AD，根据平行线的性质得∠OCA=∠DAC，加上∠OCA=∠OAC，所以∠OAC=∠DAC，于是可根据“AAS”可判断△ADC≌△AEC，则根据全等的性质即可得到CE=CD．

解答：证明：连结OC，如图，
∵DC切半圆O于点C，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
在△ADC和△AEC中，

∠ADC=∠AEC ∠DAC=∠EAC AC=AC

，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴CE=CD．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了三角形全等的判定与性质．