Question

9．已知：过△ABC的顶点作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE=∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F（如图1）．
（1）找出图中与∠BED相等的角，并证明；
（2）若AB=AC（如图2），其它条件不变，求证：AD=DE；
（3）若AB=kAC（如图3），其它条件不变，探究线段AD，DE之间的数量关系，并证明．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）∠BAD=∠BED，理由为：由MN与AC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠EBA=∠ADE，再由对顶角相等，得到△EBF∽△ADF，利用相似三角形的对应角相等即可得证；
（2）以D为圆心，DB为半径画弧交AB于Q，则DB=DQ，如图2所示，利用等边对等角得到一对角相等，再由AB=AC，得到∠ABC=∠C，进而得到∠BDQ=∠BAC，根据已知角相等，利用等式的性质得到∠BDE=∠QDA，再由DB=DQ，利用AAS得到△BED≌△QAD，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（3）作∠BDQ=∠ADE，交AB于点Q，如图3所示，利用两对角相等的三角形相似得到△BED∽△QAD，以及△BDQ∽△BAC，由相似得比例，根据AB=kAC，即可确定出AD，DE之间的数量关系．

解答 解：（1）∠BAD=∠BED，理由为：

证明：∵MN∥AC，
∴∠EBA=∠BAC，
∵∠BAC=∠ADE，
∴∠EBA=∠ADE，
又∵∠AFD=∠EFB，
∴△EBF∽△ADF，
∴∠BED=∠BAD；
（2）以D为圆心，DB为半径画弧交AB于Q，则DB=DQ，

∴∠DBQ=∠DQB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠BDQ=∠BAC，
∵∠ADE=∠BAC，
∴∠BDQ=∠ADE，
∴∠BDQ-∠EDQ=∠ADE-∠EDQ，即∠BDE=∠QDA，
在△BED和△QAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠BAD}\\{∠BDE=∠QDA}\\{BD=QD}\end{array}\right.$，
∴△BED≌△QAD（AAS），
∴AD=DE；
（3）作∠BDQ=∠ADE，交AB于点Q，如图3所示，

∴∠BDQ-∠EDQ=∠ADE-∠EDQ，即∠BDE=∠ADQ，
∵∠BED=∠BAD，
∴△BED∽△QAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BD}{QD}$，
∵∠ABC=∠QBD，∠BDQ=∠ADE=∠BAC，
∴△BDQ∽△BAC，
∴$\frac{BD}{QD}$=$\frac{BA}{AC}$=k，
∴$\frac{DE}{AD}$=k，即DE=kAD．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．