Question

16．已知m，n，p满足|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²+p²=1+2mp，求m+n+p的值．

Answer 1

分析 先移项后配方，根据二次根式被开方数的非负性，将n的取值分两种情况进行讨论：①当n=0时，②当n≠0时，分别列式可求得三个字母的值并相加．

解答 解：|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²+p²=1+2mp，
|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+m²-2mp+p²=1，
|m-1|+|n+1|+$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$+（m-p）²=1，
∵（m-2）n²≥0，
分两种情况：
①当n=0时，|m-1|+1+（m-p）²=1，
|m-1|+（m-p）²=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1=0}\\{m-p=0}\end{array}\right.$，
∴m=p=2，
∴m+n+p=1+0+1=2，
②当n≠0时，m≥2，
∴|m-1|≥1，
∵|n+1|≥0，$\sqrt{（m-2）{n}^{2}}$≥0，（m-p）²≥0，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1=1}\\{n+1=0}\\{（m-2）{n}^{2}=0}\\{m-p=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=p=2}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴m+n+p=2-1+2=3；
综上所述，m+n+p的值为2或3．

点评 本题考查了配方法的应用、绝对值、平方和算术平方根的非负性，有难度，根据算术平方根的非负性分情况讨论是关键；此类题的一般思路为：把原式左边化成几个完全平方式和的形式，根据非负数和为零，各数均为零的性质求解．