Question

13．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y=ax²-$\frac{4}{3}$x+c过点A，交y轴于点B（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线在第四象限部分上的一个动点，求四边形BMAC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据直线与坐标轴的交点得出点A、C坐标，再根据待定系数法求得抛物线解析式；
（2）设点M（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），过点M作x轴的垂线，交直线y=-$\frac{4}{3}$x+4于点N，先求出四边形BMNC的面积S₁=$\frac{1}{2}$（BC+MN）•x=6x-$\frac{1}{3}$x³，△ANM的面积S₂=$\frac{1}{2}$MN•（3-x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9，根据四边形BMAC的面积S=S₁+S₂=6x-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9=-x²+3x+9=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{4}$即可得答案．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4交x轴于点A，交y轴于点C，
∴点A坐标为（3，0）、点C坐标为（0，4），
∵抛物线y=ax²-$\frac{4}{3}$x+c过点A，交y轴于点B（0，-2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-4+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2；

（2）设点M（x，$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2），
如图，过点M作x轴的垂线，交直线y=-$\frac{4}{3}$x+4于点N，

∴点N的坐标为（x，-$\frac{4}{3}$x+4），
∵MN∥BC，
∴MN和BC间的距离为x，MN=（-$\frac{4}{3}$x+4）-（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-2）=6-$\frac{2}{3}$x²，点A到MN的距离d=3-x，
则四边形BMNC的面积S₁=$\frac{1}{2}$（BC+MN）•x=6x-$\frac{1}{3}$x³，
△ANM的面积S₂=$\frac{1}{2}$MN•（3-x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9，
∴四边形BMAC的面积S=S₁+S₂=6x-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{3}$x³-x²-3x+9=-x²+3x+9=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{4}$，
∵0＜x＜3，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，四边形BMAC面积的最大值为$\frac{45}{4}$．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题，根据题意设出点M的坐标，割补法表示出四边形BMAC面积的解析式是解题的关键．