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【题目】数学复习课上,张老师出示了下框中的问题:

已知:在Rt△ACB中,∠C=90°,点D是斜边AB上的中点,连接CD.

求证:CD=AB.

问题思考

(1)经过独立思考,同学们想出了多种正确的证明思想,其中有位同学的思路如下:如图1,过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E。请你根据这位同学的思路提示证明上述框中的问题.

方法迁移

(2)如图2,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D为AB的中点,点E是线段AC上一动点,连接DE,线段DF始终与DE垂直且交BC于点F。试猜想线段AE,EF,BF之间的数量关系,并加以证明.

拓展延伸

(3)如图3,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D为AB的中点,点E是线段AC延长线上一动点,连接DE,线段DF始终与DE垂直且交CB延长线于点F。试问第(2)小题中线段AE,EF,BF之间的数量关系会发生改变吗?若会,请写出关系式;若不会,请说明理由.

【答案】(1)CD=AB;(2)AE2+BF2=EF2;(3)线段AE、EF、FB数量关系不会发生改变,仍有AE2+BF2=EF2.

【解析】分析:(1)证ΔACDΔBEDACB≌△EBC得证;

(2)如图2,过BBGACED延长线于G,连接GF.通过证ΔADEΔBDG和在RtBFG中,得到AE2+BF2=EF2.

(3)如图3,过AAG//BCFD的延长线于点G,连接EG,类似(2)问,通过证ΔADGΔBDF,将AE、BF、EF移至RtAEG中,可得AE2+BF2=EF2.

详解:(1)证明:∵在⊿ABC中,∠C=90°,D是斜边AB中点,

BBE//ACCD延长线于E,

∴∠CAB=ABE, ACE=BEC,

∴⊿ADC∽⊿BDE,DCE中点,

∵∠CAB+CBA=90°,ABE+CBA=90°,

∴⊿ABC≌⊿ECB,AB=CE,

CD=AB.

(2)证明:BBG//ACED延长线于G,连接GF.

∴∠EAD=GBD,又∠EDA=GDB,AD=DB,

ΔAEDΔBDG,AE=BG,DE=DG,

又∵DFDE,DFEG中垂线,EF=GF,

∵∠C=90,GBF=90,BF2+BG2=GF2;

AE2+BF2=EF2.

(3)线段AE、EF、FB的数量关系不会发生改变,仍有AE2+BF2=EF2.

证明:如图3,过AAG//BCFD的延长线于点G,连接EG,

AG//BC,∴∠GAD=DBF,AGD=DFB,

∵点DAB的中点,∴AD=DB,

∴⊿ADG≌⊿BDF,AG=BF,GD=DF,

DEDF,EF=EG,

AG//BC,EAG=ACB=90°,

AE2+AG2=EG2

AE2+BF2=EF2.

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