Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，
∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝ ，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴ ∠ABD=∠BAD=45°．

∴ AD=BD．

∵ AD⊥BC,BE⊥AC,

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90o

∴ ∠CAD=∠CBE．

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF．

∴ AC=BF．

∵ AB=BC,BE⊥AC,

∴ AE=EC，即AC＝2AE．

∴ BF＝2AE

（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD= ．

∴ 在Rt△CDF中，CF＝ ＝2．

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2．

∴ AD=AF+DF=2+

【解析】（1）由AD⊥BC，∠BAD＝45°，证得AD=BD．再根据垂直的定义及同角的余角相等得出∠CAD=∠CBE．因此证明△ADC≌△BDF，得出AC=BF．即可得出结论。
（2）由△ADC≌△BDF得出DF=CD，在Rt△CDF中，利用勾股定理求出CF的长，从而求出AD的长。