Question

13．在平面直角坐标系中，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的距离$AB=\sqrt{{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}+{{（{{y_1}-{y_2}}）}^2}}$，由此可求得代数式$\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-8x+25}$的最小值为5．

Answer 1

分析 根据原式表示的几何意义是点（x，0）到点（1，1）和（4，3）的距离之和，当点（x，0）在以（1，1）和（4，3）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．

解答 解：$\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-8x+25}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+{1}^{2}}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+{3}^{2}}$，
故原式表示点（x，0）到（1，1）和（4，3）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，0）在以（1，1）和（4，3）为端点的线段上时，原式值最小．利用公式，原式=5．
故答案是：5．

点评 本题考查了两点间的距离公式．掌握代数式$\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-8x+25}$所表示的几何意义是解题的关键．