Question

5．已知直线l分别与x轴、y轴交于A．B两点，与双曲线y=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分别交于D．E两点．若点D的坐标为（3，1），点E的坐标为（1，n）
（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；
（2）求△EOD的面积；
（3）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？

Answer 1

分析 （1）把D坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，设直线l解析式为y=ax+b，把D与E坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线l解析式；
（2）根据三角形的面积的和差即可得到结果．
（3）利用平移规律表示出直线l平移后的解析式，与反比例解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，由直线l与双曲线有且只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出m的值；

解答 解：（1）把D（4，1）代入反比例解析式得：1=$\frac{3}{x}$，即k=3，
∴反比例解析式为y=$\frac{3}{x}$，
把E的坐标（1，n）代入y=$\frac{3}{x}$得n=3，
∴E的坐标为（1，3），
设直线l解析式为y=ax+b，
把D（3，1），E（1，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=4，
则直线l解析式为y=-x+4；

（2）连接OD，OE，过D作DM⊥OA于M，EN⊥OA于N，
∴S_△DOE=S_△AOE-S_△AOD=$\frac{1}{2}×3×4$-$\frac{1}{2}×4×1$=4；

（3）设直线l向下平移m（m＞0）个单位的解析式为y=-x+4-m，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
消去y得：$\frac{3}{x}$=-x+4-m，即x²+（m-4）x+3=0，
∵直线1与双曲线有且只有一个交点，
∴△=（m-4）²-12=0，即m-4=2$\sqrt{3}$或-2$\sqrt{3}$，
解得：m=2$\sqrt{3}$+4或-2$\sqrt{3}$+4；
∵m＜4，
∴m=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，以及一次函数图象与反比例图象的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．