分析 （1）把P的坐标代入即可求出反比例函数的解析式，设直线解析式为y=ax+b，把P（2，3）代入得出y=kx+3-2k，联立直线与反比例解析式得出方程kx2+（3-2k）x-6=0，根据根与系数的关系求出k，即可求出直线的解析式；
（2）由（1）求出的直线y=-$\frac{3}{2}$x+6，求出A和B的坐标，得出OA=4，OB=6，设直线CD的解析式为y=mx+n，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$只有一个解，继而证得$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，则可证得结论；
（3）设OC=t，则OD=$\frac{24}{t}$，根据S四边形ABCD=S△BCD+S△BDA得出S=3t+$\frac{48}{t}$+24，化成顶点式即可求出t，根据菱形的判定推出即可．
解答 
（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=$\frac{k}{2}$，即k=6，
则反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$，
设直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-2k}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，
消去y整理得：kx2+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）2+24k=9-12k+4k2+24k=9+12k+4k2=（2k+3）2=0，
解得：k=-$\frac{3}{2}$，
∴直线为：y=-$\frac{3}{2}$x+6；
（2）AD∥BC．理由：证明：由（1）求出的直线y=-$\frac{3}{2}$x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{6}{x}}\end{array}\right.$只有一个解，
消去y整理得：mx2+nx-6=0，
△=n2+24m=0，
-$\frac{{n}^{2}}{m}$=24，
OC•OD=$\frac{n}{m}$•（-n）=24=OA•OB，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$，
∴AD∥BC；
（3）四边形ABCD为菱形．理由：证明：设OC=t，则OD=$\frac{24}{t}$，
S四边形ABCD=S△BCD+S△BDA=$\frac{1}{2}$×（6+$\frac{24}{t}$）×t+$\frac{1}{2}$×（6+$\frac{24}{t}$）×4
=3t+$\frac{48}{t}$+24
=3（$\sqrt{t}$-$\frac{4}{\sqrt{t}}$）2+48，
则当$\sqrt{t}$-$\frac{4}{\sqrt{t}}$=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
点评 此题属于反比例函数综合题．考查了反比例函数的性质、菱形的判定、平行线的判定以及最值问题．注意利用一元二次方程根的情况来判定交点问题的是解此题的关键．
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已知直线l分别与x轴、y轴交于A．B两点，与双曲线y=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分别交于D．E两点．若点D的坐标为（3，1），点E的坐标为（1，n）查看答案和解析>>
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如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．