Question

【题目】设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足当m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由．

（2）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式．

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）当k＞0时，函数的解析式为y=x；当k＜0时，函数的解析式为y=﹣x+m+n．

【解析】

（1）根据“闭函数”的定义验证反比例函数y=的函数值y是否满足1≤y≤2019即可；

（2）分两种情况：当时和当时，分别用待定系数法求一次函数的解析式即可．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”，

理由：∵当x=1时，y=2019，当x=2019时，y=1，

∴反比例函数y=是闭区间[1，2019]上的“闭函数”；

（2）∵一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，

∴当k＞0时，根据题意有

解得 ，

即此函数的解析式为y=x；

当k＜0时，根据题意有

解得 ，

即此函数的解析式为y=﹣x+m+n．