Question

如图，已知点A（1，3）在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上．
（1）求k的值；
（2）当∠ABD=45°时，求点C的坐标；
（3）当∠ABD=45°时，求直线BD的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式就可求出k的值．
（2）由∠ABD=45°可证得矩形ABCD是正方形，由A（1，3）可求出OC长，就可解决问题．
（3）由（2）可得OB、OC、DC长，从而得到点B、D的坐标，然后运用待定系数法就可求出直线BD的解析式．

解答：解：（1）∵点A（1，3）在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=1×3=3．
∴k的值为3．

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°．
∵∠ABD=45°，
∴∠ADB=45°=∠ABD，
∴AD=AB，
∴矩形ABCD是正方形，
∴DC=BC=AB．
∵点A的坐标为（1，3），
∴OB=1，DC=BC=AB=3，
∴OC=4，∴点C的坐标为（4，0）．

（3）由（2）得：OB=1，0C=4，DC=3，
则点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，3）．
设直线BD的解析式为y=mx+n，
则有

m+n=0 4m+n=3

，
解得：

m=1 n=-1

．
故直线BD的解析式为y=x-1．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、正方形的判定与性质等知识，运用待定系数法是解决本题的关键．