Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，交y轴负半轴于C点，若∠ACB=90°，且

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

，那么抛物线的对称轴是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由于∠ACB=90°，所以可由射影定理和韦达定理求抛物线的解析式，进而求出对称轴．

解答：解：设A点横坐标为x₁、B点横坐标x₂；
由射影定理得-x₁•x₂=c²①，
由韦达定理得
x₁•x₂=c，x₁+x₂=-b，
又因为

1

OA

-

1

OB

=

2

OC

，
所以

x1+x2

x1x2

=

2

c

②，
将x₁•x₂=c代入-x₁•x₂=c²①，
解得：-c=c²，
解得：c=-1或c=0（不合题意，舍去）．
将x₁•x₂=c，x₁+x₂=-b代入

x1+x2

x1x2

=

2

c

②
得，

-b

c

=

2

c

，则b=-2，于是抛物线的解析式y=x²-2x-1=（x-1）²-2．
故对称轴为：直线x=1．
故答案为：直线x=1．

点评：此题主要考查了射影定理和韦达定理，解答此题的关键是熟练应用射影定理和韦达定理得出c的值．