Question

解方程组：

x+y+z+u=8 x2+y2+z2+u2=20 xz+xu+yz+yu=16 xyzu=9

．

Answer 1

考点：高次方程

专题：

分析：首先观察所给方程组的结构特点，找出其中隐含的规律；求出xy=zu=3；进而求出x、y、z、u的值，问题即可解决．

解答：解：

x+y+z+u=8① x2+y2+z2+u2=20② xz+xu+yz+yu=16③ xyzu=9

，
由①²-②-2×③得：2xy+2zu=12，
∴xy+zu=6④；
∵（xy）（zu）=9⑤，
∴由④、⑤知xy、zu是方程x²-6x+9=0的两个实数根，
解得：xy=zu=3；
由②+2xy+2zu得：（x+y）²+（z+u）²=32⑥，
由①得：x+y=8-（z+u），代入⑥式并解得：z+u=4，
∴x+y=8-4=4；
∴

x+y=4 xy=3

，
解得：x=1，y=3或x=3，y=1；
同理可求：z=1，u=3或z=3，u=1；
综上所述，原方程组的解为：

x=3 y=3 z=1 u=1

或

x=3 y=1 z=1 u=3

或

x=1 y=3 z=3 u=1

或

x=1 y=1 z=3 u=3

．

点评：该命题主要考查了高次方程的求解问题；解决高次方程的一般策略是：化高次为低次，化多元为少元；灵活运用整式的乘法法则将所给的方程组将次、减元是解题的关键；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．