Question

5．抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，PE=5EF，求m的值；
（3）如图2，过动点P作PM⊥y轴于点M，交直线CD于点Q，过Q点作QN⊥x轴于点N点，连接MN，当线段MN最短时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）求得C，D两点的坐标，将点P横坐标m代入抛物线解析式，即可得出点P的纵坐标，根据PF⊥x轴，可得出点E的横坐标m，把点E的横坐标代入直线y=-$\frac{3}{4}$x+3即可得出点E纵坐标，从而得出PE的长，根据PE=5EF，求得m的值即可；
（3）先证明四边形OMQN为矩形，即可得出MN=OQ，当NM最短时，即OQ最短，过点O作OQ⊥CD，此时OQ最短．

解答 解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得b=4，c=5．
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5；

（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-$\frac{3}{4}$m+3）|=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-$\frac{3}{4}$m+3）-0|=|-$\frac{3}{4}$m+3|．
由题意，PE=5EF，即：|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=5|-$\frac{3}{4}$m+3|=|-$\frac{15}{4}$m+15|
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{15}{4}$m+15，整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m=2或m=$\frac{13}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-（-$\frac{15}{4}$m+15），整理得：m²-m-17=0，
解得：m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$．
由题意，m的取值范围为：-1＜m＜5，
故m=$\frac{13}{2}$、m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$这两个解均舍去．
∴m=2或m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．

（3）∵四边形OMQN是矩形，∴MN=OQ，
∴MN的最小值就是OQ的最小值，
当OQ⊥CD时，OQ最小，
∵C（0，3）D（4，0），OQ⊥CD，
∴OC=3，OD=4
∴CD=5，OQ=$\frac{12}{5}$，由sin∠OCD=sin∠QOD，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{QN}{QO}$
∴$\frac{4}{5}$=$\frac{QN}{\frac{12}{5}}$，
∴QN=$\frac{48}{25}$，
∴P（m，$\frac{48}{25}$）代入抛物线解析式得，-m²+4m+5=$\frac{48}{25}$，
∴（m-2）²=$\frac{177}{25}$，
∴m=$\frac{10±\sqrt{177}}{5}$，
∴当P点的坐标为P（$\frac{10+\sqrt{177}}{5}$，$\frac{48}{25}$）或P（$\frac{10-\sqrt{177}}{5}$，$\frac{48}{25}$）时，
线段MN最短．

点评 本题考查是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．