Question

16．如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，D为边BC上一动点，过B作BE⊥AD于E，过D作DF⊥AB于F．
①当DC=DB=1时，BE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②当∠CAD=∠BAD时，分别求出tan∠CFD与tan∠EFD的值；
③当D在边BC上运动时，AD与CF交于M，BD与EF交于N，求证：tan∠BAD=$\frac{DM•NB}{DN•MA}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，首先求出AD的长；可以判断△ACD∽△BED，列出关于BE的比例式，求出BE即可解决问题．
（2）如图2，运用角平分线的性质，结合正切函数的定义，首先求出tan∠DAC的值；然后证明∠CFD=∠EFD=∠DAC即可解决问题．
（3）如图3，作辅助线；首先证明PD=DQ；运用相似三角形的性质证明$\frac{DM}{MA}=\frac{DP}{AF}$，$\frac{DN}{NB}=\frac{DQ}{BF}=\frac{DQ}{DF}$，得到$\frac{DM}{MA}•\frac{NB}{DN}=\frac{DF}{AF}$，运用正切函数的定义即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACD=90°，而DC=DB=1，
∴AC=2，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$；而BE⊥AE，
∴∠DEB=90°；而∠ACD=90°，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{AD}{BD}$，
∴BE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
（2）如图2，设BC=AC=λ，则AB=$\sqrt{2}$λ；
∵∠CAD=∠BAD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{λ}{\sqrt{2}λ}=\frac{CD}{λ-CD}$，
解得：CD=（$\sqrt{2}-1$）λ，
∴tan∠DAC=$\frac{DC}{AC}$=$\sqrt{2}-1$；
∵DF⊥AB，∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠AFD=180°，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠CFD=∠DAC，同理可证∠EFD=∠DBE=∠DAF，
∴tan∠CFD=tan∠EFD=tan∠DAC=$\sqrt{2}-1$．
（3）如图3，过点D作PQ∥AB，交CF于点P，交EF于点Q；
∵∠PFD=∠CAD，∠QFD=∠EBD，而∠CAD=∠EBD，
∴∠PFD=∠QFD，
∴tan∠PFD=tan∠QFD，
即$\frac{PD}{FD}=\frac{QD}{FD}$，
∴PD=QD；由∠DBF=45°，DF⊥BF知：
△BDF为等腰直角三角形，DF=BF；
∵DP∥AF，
∴△DPM∽△AFM，$\frac{DM}{MA}=\frac{DP}{AF}$；
同理可证：$\frac{DN}{NB}=\frac{DQ}{BF}=\frac{DQ}{DF}$，
∴$\frac{DM}{MA}•\frac{NB}{DN}=\frac{DF}{AF}$，而tan∠BAD=tan∠DAF=$\frac{DF}{AF}$，
∴tan∠BAD=$\frac{DM•NB}{DN•MA}$．

点评 该题以三角形为载体，以勾股定理、相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定及其性质、三角函数的定义等几何知识点为考查的核心构造而成；牢固掌握勾股定理、相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定及其性质等知识点是基础，灵活运用是关键．