Question

11．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x²+2x-3=0的各根的负倒数．

Answer 1

分析 设方程5x²+2x-3两个为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{2}{5}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{5}$，再分别计算-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$和-$\frac{1}{{x}_{1}}$•（-$\frac{1}{{x}_{2}}$），然后根据根与系数的关系写出以-$\frac{1}{{x}_{1}}$和-$\frac{1}{{x}_{2}}$为两根的一元二次方程．

解答 解：设方程5x²+2x-3两个为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-$\frac{2}{5}$，x₁•x₂=-$\frac{3}{5}$，
-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{2}{3}$和-$\frac{1}{{x}_{1}}$•（-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
所以以-$\frac{1}{{x}_{1}}$和-$\frac{1}{{x}_{2}}$为两根的一元二次方程为x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{3}$=0．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．