已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(1.0).与y轴的交点坐标为(0.)．R(1.1)是抛物线对称轴l上的一点． (1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式, (2)若P是抛物线上的一个动点.求证:点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等, (3)设直线PR与抛物线的另一交点为Q.E为线段PQ的中点.过点P.E.Q分别作直线y=﹣1的垂线．垂足� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．

（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；

（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等；

（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y=﹣1的垂线．垂足分别为M、F、N（如图二）．求证：PF⊥QF．

（1）解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）²，

把（0，）代入得a=，

所以抛物线解析式为y=（x﹣1）²；

（2）证明：如图1，设P（x，（x﹣1）²），则PM=（x﹣1）²+1，

∵PR²=（x﹣1）²+[（x﹣1）²﹣1]²=（x﹣1）²+[（x﹣1）]⁴﹣（x﹣1）²+1=[（x﹣1）]⁴+（x﹣1）²+1=[（x﹣1）²+1]²，

∴PR=（x﹣1）²+1，

∴PR=PM，

即点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等；

（3）证明：由（2）得QN=QR，PR=PM，

∴PQ=PR=QR=PM+QN，

∵EF⊥MN，QN⊥MN，PM⊥MN，

而E为线段PQ的中点，

∴EF为梯形PMNQ的中位线，

∴EF=（QN+PM），

∴EF=PQ，

∴EF=EQ=EP，

∴点F在以PQ为直径的圆上，

∴∠PFQ=90°，

∴PF⊥QF．

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