Question

（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x+4x+4(0＜＜2)，

（1）当C与x轴有唯一交点时，求C的解析式；

（2）若=1，将抛物线C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C，抛物线C与x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）与抛物线C相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍，求k的值；

（3）若A（1，y），B（0，y），C（－1，y）三点均在C上，连BC，作AE∥BC交抛物线C于E，求证：当值变化时，E点在一条直线上．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数与一元二次方程的关系，可知有两个相等的实数根，据此求出a的值；

（2）设P（，），Q（，），得到、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，进而得到k=；

（3）作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，设E(，) ，得到关于的等式，解得的值，即可得到点E所在的直线关系式．

试题解析：(1)抛物线C与x轴有唯一交点，即当y=0时，有两个相等的实数根，此时，解得：a=，因为0＜＜2，所以a=1，所以抛物线C的解析式为；

（2）设P（，），Q（，），则：=－4，∴=－4，且、为方程－1=kx的两根，∴=－1 ∴=－，=2，∴k=．

(3) 作CD⊥y轴于D，作AQ⊥x轴于Q，作EG⊥AQ于G，则△AEG∽△BCD，∴，设E(，) ，∴=a+4+4a ，=4a ，=a－4+4a，=a+4+4a，∴，∵≠1，∴=－2，即E点在直线x=－2上．

考点：二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的综合应用．

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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